Антуан Бессемс родился в Антверпене, в то время входившем в состав Соединенного Королевства Нидерландов, а затем находившемся под контролем Франции. Бессем поступил в Парижскую консерваторию, обучаясь игре на скрипке у Пьера Байо. После окончания университета он продолжил карьеру исполнителя, в основном в Париже. Он также несколько лет был дирижером Филармонического оркестра Антверпена. Его последние годы прошли в Париже, где он стал выдающимся педагогом и исполнителем.