Gaspar Cassadó est né à Barcelone le 30 septembre 1897 dans une famille de musiciens. Son père, Joaquín, était compositeur et musicien d'église et dirigeait un magasin de pianos avec sa femme, Agustina Moreu. Gaspar a commencé sa formation musicale à l'âge de cinq ans, en chantant dans la chorale de l'église dirigée par son père. Il commence également des études de violoncelle avec Dionisio March et son talent se révèle rapidement. Au même moment, le frère aîné de Gaspar, Agustin, se montrait très prometteur en tant que violoniste. Joaquín Cassadó était déterminé à donner à ses fils la meilleure formation musicale possible et, en 1907, il déménagea la famille à Paris, où ils restèrent sept ans. Grâce à une bourse de la ville de Barcelone, Agustin suit des cours auprès du grand violoniste français Jacques Thibaud, tandis que Gaspar commence à étudier avec celui qui deviendra l'une des figures centrales de sa vie, son compatriote catalan Pablo Casals.