Antoine Bessems est né à Anvers, qui faisait alors partie du Royaume-Uni des Pays-Bas, alors sous contrôle français. Bessems entre au Conservatoire de Paris et étudie le violon avec Pierre Baillot. Après avoir obtenu son diplôme, il poursuit une carrière d'interprète, principalement à Paris. Il a également été chef d'orchestre de l'Orchestre Philharmonique d'Anvers pendant plusieurs années. Ses dernières années se déroulent à Paris où il devient un éminent professeur et interprète.